Le mouvement sinusoïdal est le mouvement périodique le plus simple qui soit. Le son du diapason à fourche, qui n’émet qu’une fréquence fondamentale sans partiel au-dessus, peut être représenté par une sinusoïde.

Les oscillation

Oscillations sans frottements

Purement théorique, c’est l’énergie perpétuelle…

Oscillations amorties

C’est le cas pratique de tous systèmes matériels mis en mouvement et abandonnés à eux-mêmes. Corde de piano ou de guitare après la mise en vibration, par exemple. Les frottements de l’air et internes au matériau diminuent l’amplitude.

Lorsque le son est complexe, la courbe est plus compliquée, mais l’allure d’ensemble de l’extinction reste la même.

Oscillations entretenues

On apporte ici une énergie extérieure compensant l’amortissement du aux frottements. On se retrouve donc ici dans le cas de l’oscillation sans frottements. C’est le cas par exemple des cordes frottées avec un archet dont le rôle est d’apporter un supplément d’énergie compensant l’amortissement.

Loi de Fourier et mouvements périodiques complexes

Rappel : les sons musicaux sont composés d’un fondamental et de partiels harmoniques ou non.

Un phénomène périodique quelconque peut toujours se décomposer en une somme de sinusoïdes élémentaires ( représentant les harmoniques ), dont les fréquences respectives sont des multiples entiers de la composante la plus grave appelée fondamental ou harmonique 1. C’est la fréquence fondamentale.

Exemple : soit un fondamental de 50 Hz ; Un son périodique ayant cette fréquence de base aura nécessairement comme composantes, ou bien la série des multiples ( 50, 100, 150, 200 Hz, etc ) ou bien un certain nombre de fréquences de cette série seulement, mais à l’exclusion de tout autre nombre, comme par exemple 73 Hz.

Rappel : les composantes qui n’appartiennent pas à la série harmonique sont des partiels.

Si on rajoute un partiel à la série, le phénomène ne peut plus être périodique, par définition.

Il convient de préciser que les sons musicaux réels ne sont jamais strictement périodiques…

La découverte de Fourier a permis d’envisager la synthèse des sons…

La sommation des sinusoïdes

Du point de vue graphique, il suffit d’additionner leurs élongations aux points correspondants.

Addition de deux sinusoïdes de même période et de même amplitude mais en opposition de phase

Il est facile de constater que dans ce cas, en additionnant les élongations en chaque point, les deux sinusoïdes s’annulent. Il n’y a plus de phénomènes. Les preneurs de sons évitent avec beaucoup de soin les oppositions de phases !

Par ailleurs, on peut imaginer créer du silence dans un milieu très bruyant, tout simplement en créant un deuxième bruit qui serait en opposition de phase ! [1]

Addition de deux sinusoïdes en phase, mais dont la deuxième a une fréquence double et une amplitude moitié moindre que celle de la première

Par exemple, fondamental + harmonique 1. C’est le cas le plus simple pour illustrer la loi de Fourier. La somme des sinusoïdes ( 1 + 2 ) donne une ligne régulière ( 3 ).
Dans le deuxième schéma, les amplitudes sont égales et la courbe résultante est différente mais dans les deux cas les deux courbes se retrouvent toujours au point x : le mouvement est périodique.

Addition de sinusoïdes en phase, ayant leurs fréquences respectives toutes multiples de la plus basse

La courbe résultante est de plus en plus complexe.

En additionnant toute la série des harmoniques d’un fondamental (à condition que les amplitudes soient inversement proportionnelles au rang harmonique ) on obtient une forme en dent de scie.

En additionnant uniquement les harmoniques de rang impair, on obtient une forme en créneaux.

Addition de deux signaux identiques, mais décalés de phases

Dans ce cas le mouvement reste périodique et seule l’amplitude de la courbe résultante est différente.

Addition de deux sinusoïdes de fréquences très voisines qui n’entrent donc pas dans la série de Fourier, mais qui débutent en phase

Premier cas de figure.

C’est le cas, audible, de deux flûtes mal accordées.

La somme des deux sinusoïdes augmente d’abord l’amplitude de la courbe résultante, mais le petit décalage N, N’ va augmenter sans cesse. A un moment donné, les deux sinusoïdes seront pratiquement en opposition de phase produisant un silence. Puis le décalage continuant, on reviendra à la première position et ainsi de suite.

C’est le phénomène des battements, qui, se reproduisant à intervalles réguliers, sont donc périodiques.

La fréquence du battement est facile à calculer. Il suffit de faire la différence entre les deux fréquences élémentaires. Si deux flûtistes jouent ensemble un la, pour le premier à 440 Hz et pour le second à 445 Hz, les battements seront de 5 Hz, soit 5 battements par seconde.

Deuxième cas de figure.

Quand la fréquence des battements dépasse 35 à 40 Hz, un troisième son devient audible, un différentiel, dont la fréquence se calcule comme précédemment.

Imaginons que l’on fasse entendre ensemble un La 440 et sa quinte naturelle, soit 440 X 3/2 ( le rapport de quinte ) = 660 H. Le différentiel sera donc de 220 Hz qui n’est autre que le La à l’octave grave du La 440.

Autre exemple : un La 440 et sa tierce naturelle, soit 440 X 5/4 = 550 Hz. Le différentiel sera de 550 - 440 = 110 Hz. Soit la double octave grave de notre La 440.

Dernier exemple : deux sons dont l’un est de 440 Hz et l’autre de 540 Hz, le différentiel de 100 Hz n’appartient dans ce cas à aucune des deux séries. Il y a dissonance.

Cet effet renforçant la consonance est d’une extrême importance. Il est peut-être le fondement de l’harmonie même ( dans le sens de superposition de sons ). Il s’agit là de la théorie de la “fusion des harmoniques” de Helmholtz ( 1821 - 1894 ).

Il faut noter que d’autres théories justifient autrement l’harmonie et que la notion même de consonance/dissonance est très difficile à manipuler, dés lors que l’on voudrait généraliser. Le contexte historico-culturel est souvent prépondérant et permet d’entendre une consonance là où d’autres entendraient une dissonance…

Addition de sinusoïdes quelconques

On peut additionner toutes sortes de sinusoïdes, mais la loi de Fourier est stricte : seul les sons comportant des composants harmoniques ( les multiples d’un fondamental ) sont périodiques.

Les sons musicaux ne sont généralement pas périodiques même s’ils s’en rapprochent. Notre flûte harmonique par exemple ne produit pas des harmoniques, mais des partiels (il fallait bien que je l’avoue un jour…)… Pour qu’elle produise des harmoniques, il aurait fallu que son diamètre soit nul ! Ce qui rend difficile de souffler dedans…

Pratiquement, plus on monte les paliers de souffle, plus les sons s’éloignent progressivement des harmoniques (en étant trop aigu, et de plus en plus ).

Cependant, l’oreille n’entend pas les aigus de la même façon que les graves. Pratiquement, il faut que les aigus soient un peu plus aigus que ce que commanderait la théorie pour qu’on les entendent justes ! Il faut aussi que les sons très graves soient un peu plus graves. En fait l’oreille n’entend juste que dans sa zone médiane d’audition.

Quand nous entendons deux sons de 440 et 220 Hz, ou bien de 440 et 880 Hz, nous entendons bien des octaves justes. Mais 4000 Hz ne sonne pas du tout comme l’octave de 2000 Hz. D’après l’acousticien Stevens, il faudrait environ 4600 Hz.

Ici, il faut ajouter que chaque oreille est différente et demanderait une correction différente. Ce qui fait que l’échelle des Mels, mise au point par Stevens, et corrigeant ce phénomène n’est guère utilisée. Toutefois les accordeurs très perfectionnés permettent des corrections.

Oscillations de relaxation

Quand la durée de l’aller et du retour de l’oscillation sont différents , l’oscillation est dite “en dents de scie”. Un grand nombre d’instruments à sons entretenus produisent des oscillations en dents de scie.

Dans le cas d’un retour instantané, on aurait des harmoniques de tous rangs, cas théorique en a. Plus le retour est lent, plus on s’approche du cas sinusoïdal (fondamental seul), cas b.

Elles se produisent dans tous les systèmes matériels où l’aller et le retour du corps matériel vibrant sont de durée différente.

Oscillation de relaxation en dents de scie d’une corde frottée

Le mouvement de la corde est plus lent dans le sens de déplacement de l’archet, plus rapide dans le sens contraire ; c’est pourquoi la corde frottée produit une oscillation de relaxation riche en harmoniques de tous rangs.

Oscillations carrées

Par définition, les oscillations carrées, aussi appelées signaux carrés ne comportent que des harmoniques impairs. C’est le cas de la clarinette ou de la flûte de Pan.

Cas théorique d’un aller et d’un retour instantanés avec longs arrêts aux points extrêmes.